무한 분할 - Infinite divisibility

무한 분할 - Infinite divisibility

무한 분할은 철학, 물리학, 경제학, 질서 이론(수학의 한 분야), 확률 이론(수학의 한 분야)에서 서로 다른 방식으로 발생한다. 물질, 공간, 시간, 돈, 또는 연속체와 같은 추상적인 수학적 사물에 대한 무한한 불분명한 점 또는 그 부족을 말할 수 있다.

철학적

서구 전통에서 이 사상의 기원은 기원전 5세기부터 고대 그리스 사회 이전의 철학자 데모크리토스와 그의 스승 루키푸스가 감각에 의해 감지될 수 있는 것을 넘어 궁극적으로 분리할 수 없는 원자로 끝날 때까지 물질의 불분명한 점을 이론화함으로써 추적할 수 있다. 그러나 인도의 철학자 카나다(철학자)도 기원전 6세기경에서 2세기경까지 이 철학자가 살았던 시기를 둘러싸고 애매모호한 점이 있지만 원자론적 이론을 제시했다.  플라톤의 대화 티마이오스에서는 원자주의가 탐구되고 아리스토텔레스의 지원도 받았다. Andrew Pyle은 그의 아톰리즘과 비평가들의 첫 몇 페이지에 무한한 가성에 대해 명쾌한 설명을 한다. 거기서 그는 사과와 같은 어떤 확장된 물건이 있다는 생각을 얼마나 무한히 여러 번 나눌 수 있고, 한 번도 점으로 나누지 않는 곳, 또는 어떤 종류의 원자에도 포함시키는지를 보여준다. 많은 전문철학자들이 무한히 많은 항목들의 집합(무한분열이 있기 때문에, 물체의 집합은 무한히 있어야 한다), 또는 (더 드물게), 포인트 크기만한 항목들 또는 둘 다와 관련이 있다고 주장한다. Pyle은 무한히 분리할 수 없는 확장의 수학은 이것들 중 어느 것도 포함하지 않는다고 말한다. 즉, 무한 분할은 있지만, 유한한 집합의 물체만이 존재하며, 그것들은 절대 점 연장이 없는 항목으로 분할되지 않는다.

제노는 화살이 한 순간에 여기 있고 움직이지 않고 나중에 다른 곳에 있고 움직이지 않는다면 어떻게 화살이 움직일 수 있는지에 대해 의문을 제기했다.

그러나 제노의 추리는 만약 그것이 동등한 공간을 차지했을 때 모든 것이 정지해 있고, 이동 중에 있는 것이 언제나 그러한 공간을 언제나 어느 순간에도 점령하고 있다면, 따라서 날아오는 화살은 움직이지 않는다. 이것은 거짓이다. 시간은 불가분의 순간으로 구성되지 않기 때문이다. 다른 크기가 불분명한 것으로 구성되는 것보다 더 크다.

— 아리스토텔레스, 물리학 VI:9, 239b5

비행 중 화살에 대한 제노의 역설과 관련하여 알프레드 노스 화이트헤드는 "각 후속 행위가 수렴성 시리즈에서 작을 경우 유한한 시간에 무한한 수의 행위가 일어날 수 있다"고 쓰고 있다.

타당성이 있는 한, 그 주장은 두 가지 전제로부터 모순을 이끌어낸다: (i) 어떤 것이 될 때 (res vera)가 된다는 것과 (ii) 되는 모든 행위는 그 자체가 되는 이전의 부분과 이후의 부분으로 구분된다는 것이다. 예를 들어, 1초 동안 되는 행위를 생각해 보라. 그 행위는 두 가지 행위로 나누어지는데, 하나는 두 번째 행위의 전반부에, 다른 하나는 두 번째 행위의 후반부에 각각 나누어진다. 따라서 전체 초 동안 발생하는 것은 전반 반초 동안 발생하는 것을 전제로 한다. 유사하게, 전반 반초 동안 발생하는 것은 1/4 분기에 발생하는 것을 가정하고, 무한정 그렇게 된다. 따라서 문제의 제2의 시작에 이르는 과정을 고려하고, 그 다음이 무엇이 되느냐고 묻는다면, 어떤 대답도 할 수 없다. 우리가 가리키는 어떤 생물체든, 두 번째 생물의 시작 이후, 그리고 그 생물의 선행으로 된 초기 생물을 전제로 하기 때문이다. 그러므로 문제가 되는 두 번째로의 이행에 영향을 미치기 위해서 되는 것은 아무것도 없다.

— A.N. 화이트헤드, 프로세스 및 현실

물리학적

양자역학이 발견되기 전까지는 물질이 무한히 분리될 수 있는가에 대한 문제와 물질이 인피니텀으로 더 작은 부분으로 잘라질 수 있는가에 대한 문제 사이에 어떠한 구별도 이루어지지 않았다.

그 결과 문자 그대로 '불가당하다'는 뜻의 그리스어 átomos(ἄτμμος)는 보통 '분할할할 수 없는'으로 번역된다. 현대 원자는 정말로 분리될 수 있는 반면, 실제로는 분리할 수 없는 것이다. 그것의 부분이 원자의 물질적인 부분과 일치하도록 공간의 칸막이가 없다. 즉 물질에 대한 양자-기계적 설명은 더 이상 쿠키커터 패러다임과 일치하지 않는다. 이것은 물질의 불능성에 대한 고대적 난제를 새롭게 조명한다. 물질적 물체의 다양성(부분의 개수)은 표면을 구분하는 것이 아니라 내부 공간 관계(부분들 사이의 상대적 위치)의 존재에 따라 달라지며, 이러한 것들은 결정적인 가치가 결여되어 있다. 입자 물리학의 표준 모델에 따르면, 원자를 구성하는 입자 즉, 쿼크와 전자는 점 입자들이다. 그들은 공간을 차지하지 않는다. 그럼에도 불구하고 원자가 공간을 차지하게 만드는 것은 "공간을 점령"하는 어떤 공간적으로 확장된 "스튜프"가 아니라, 그것은 점점 더 작은 조각으로 잘라질 수도 있다. 그러나 그것의 내부 공간 관계의 불변성이다.

물리적 공간은 무한히 분리될 수 없는 것으로 간주되는 경우가 많다. 우주에 있는 어떤 지역도, 아무리 작더라도, 더 분열될 수 있다고 생각된다. 시간은 마찬가지로 무한히 나눌 수 없는 것으로 간주된다. 그러나 양자물리학 분야에서 맥스 플랑크(1858–1947)의 선구적인 연구는 사실상 최소 측정 가능한 거리(현재 플랑크 길이, 1.616229(38)×10^-35m)가 있고 따라서 최소 시간 간격(빛이 진공에서 그 거리를 가로지르는 데 걸리는 시간, 5.39116(13)×10^44가 있음을 시사한다.ds(Planck time)는 의미 있는 측정이 불가능한 시간보다 작다.