백터공간 - Vector space

백터공간 - Vector space

벡터 공간은 벡터라고 하는 물체의 집합체로서, 함께 더하여 숫자로 증식할 수 있으며, 스칼라라고 한다. 스칼라는 종종 실제 숫자로 여겨지지만, 복잡한 숫자, 이성적인 숫자 또는 일반적으로 어떤 분야에 의해서 스칼라 곱셈이 있는 벡터 공간도 있다. 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈의 연산은 § 정의에 아래에 열거된 공리라고 불리는 특정 요건을 충족해야 한다. 스칼라가 실제 또는 복잡한 숫자임을 명시하기 위해 실제 벡터 공간과 복잡한 벡터 공간이라는 용어가 자주 사용된다.

유클리드 벡터는 벡터 공간의 한 예다. 그것들은 힘과 같은 물리적인 양을 나타낸다. 어떤 두 개의 힘(동일한 유형의 힘)을 더하여 3분의 1을 산출할 수 있으며, 실제 승수에 의한 힘 벡터의 곱셈은 또 다른 힘 벡터다. 같은 맥락에서 그러나 보다 기하학적인 의미에서는 평면이나 3차원 공간에서 변위를 나타내는 벡터도 벡터 공간을 형성한다. 벡터 공간의 벡터는 언급된 예에서 볼 때 반드시 화살표와 같은 물체일 필요는 없다. 벡터는 특정한 특성을 가진 추상적인 수학 개체로 간주되며, 경우에 따라 화살표로 시각화할 수 있다.

벡터 공간은 선형대수의 대상이며 그 치수가 잘 특징지어지는데, 대략적으로 말해서 공간 내 독립적인 방향의 수를 명시한다. 무한 차원 벡터 공간은 함수 공간으로서 수학 분석에서 자연스럽게 발생하는데, 벡터는 함수 공간이다. 이러한 벡터 공간은 일반적으로 토폴로지가 될 수 있는 추가 구조를 부여하여 근접성과 연속성의 문제를 고려할 수 있다. 이러한 위상 중에서 두 벡터 사이의 거리에 대한 개념을 가지고 있기 때문에 표준 또는 내부 제품에 의해 정의되는 위상이 더 일반적으로 사용된다. 이것은 특히 바나흐 공간과 힐버트 공간의 경우로, 수학 분석의 기초가 된다.

역사적으로 벡터 공간으로 이끄는 최초의 사상은 17세기의 분석 기하학, 행렬, 선형 방정식의 체계, 유클리드 벡터까지 거슬러 올라갈 수 있다. 1888년 주세페 페아노가 처음 공식화한 현대적이고 추상적인 치료법은 유클리드 공간보다 더 일반적인 대상을 포괄하고 있지만 이론의 상당 부분은 선, 평면, 그 고차원 아날로그와 같은 고전적인 기하학적 사상의 연장으로 볼 수 있다.

오늘날 벡터 공간은 수학, 과학, 공학 전반에 걸쳐 적용된다. 그것들은 선형 방정식의 시스템을 다루기 위한 적절한 선형-알브레이크 개념이다. 이들은 이미지 압축 루틴에 채택된 푸리에 확장에 대한 프레임워크를 제공하며, 부분 미분방정식의 솔루션 기법에 사용할 수 있는 환경을 제공한다. 더욱이 벡터 공간은 텐서 같은 기하학적, 물리적 물체를 처리하는 추상적이고 좌표가 없는 방법을 제공한다. 이를 통해 선형화 기법에 의해 다지관의 국부적 특성을 조사할 수 있다. 벡터 공간은 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있으며, 기하학과 추상 대수학에서 더 진보된 개념으로 이어질 수 있다.