양자역학 - Quantum mechanics [3]

양자역학의 수학적 공식

폴 디락, 데이비드 힐버트, 존 폰 노이만, 헤르만 바일 등이 개발한 양자역학의 수학적으로 엄격한 공식화에서 양자역학계의 가능한 상태는 단위 벡터(상태 벡터라고도 부른다)로 상징된다. 형식적으로 이러한 벡터는 복잡한 숫자의 규범 1까지 잘 정의된 복잡한 분리 가능한 힐버트 공간의 요소이다. 즉, 가능한 상태는 힐버트 공간의 투사적 공간에 있는 점이며, 보통 복잡한 투사적 공간이라고 불린다. 이 힐버트 공간의 정확한 성질은 시스템에 의존한다. 예를 들어, 위치 및 운동량 상태에 대한 상태 공간은 사각형 통합 기능의 공간인 반면, 단일 양성자의 스핀을 위한 상태 공간은 단지 두 개의 복잡한 평면의 산물일 뿐이다. 각 관측 가능한 것은 주 공간에 작용하는 최대 에르미트어 선형 연산자로 표현된다. 관측 가능한 각 고유 상태는 운영자의 고유 벡터에 해당하며, 관련 고유값은 해당 고유 상태에서 관측 가능한 값에 해당한다. 운용자의 스펙트럼이 불연속인 경우 관측가능성은 그러한 불연속 고유값만을 달성할 수 있다.

양자역학의 형식주의에서 주어진 시간에 어떤 시스템의 상태를 복잡한 파동함수로 설명하는데, 복잡한 벡터 공간에서 상태 벡터라고도 한다. 이 추상적인 수학적 개체는 구체적인 실험 결과의 확률 계산을 허용한다. 예를 들어 특정 시간에 핵 주변의 특정 영역에서 전자를 찾을 확률을 계산할 수 있다. 고전 역학과는 달리 위치나 운동력 같은 결합 변수를 임의의 정밀도로 동시에 예측하는 일은 결코 할 수 없다. 예를 들어, 전자는 주어진 공간 영역 내의 어딘가에 위치한다고 생각할 수 있지만, 정확한 위치를 알 수 없다. 종종 "클라우드"라고 불리는 일정한 확률 밀도의 등고선은 전자가 가장 큰 확률로 어디에 위치할 수 있는지를 개념화하기 위해 원자의 핵 주위에 그려질 수 있다. 하이젠베르크의 불확실성 원리는 그 결합 탄력이 주어진 입자의 정확한 위치를 찾을 수 없는 능력을 계량화한다.

한 해석에 따르면, 측정의 결과, 시스템에 대한 확률 정보를 포함하는 파동 함수가 주어진 초기 상태에서 특정 고유 상태로 붕괴된다. 측정의 가능한 결과는 관측 가능한 연산자의 고유값이며, 이는 모든 고유값이 실제인 은둔 연산자의 선택을 설명한다. 주어진 상태에서 관측할 수 있는 확률 분포는 해당 연산자의 스펙트럼 분해를 계산하여 찾을 수 있다. 하이젠베르크의 불확실성 원리는 특정 관측가능성에 해당하는 사업자가 통근하지 않는다는 진술로 대표된다. 따라서 양자역학의 확률론적 성질은 측정 행위에서 비롯된다. 이것은 양자체계의 가장 이해하기 어려운 측면 중 하나이다. 그것은 유명한 보어-아인슈타인 논쟁의 중심 주제였는데, 이 두 과학자는 사고 실험을 통해 이러한 근본 원리를 명확히 하려고 시도했다. 양자역학이 성립된 후 수십 년 동안, 무엇이 "측정"을 구성하는가에 대한 문제가 광범위하게 연구되어 왔다. 양자역학에 대한 새로운 해석은 "파동함수 붕괴"의 개념을 폐지하는 것으로 공식화되었다. 양자체계가 측정기구와 상호작용을 할 때 각각의 파동함수가 얽혀 원래의 양자체계가 독립체로 존재하는 것을 중단한다는 것이 기본 생각이다.

일반적으로 양자역학은 명확한 값을 지정하지 않는다. 대신 확률 분포를 사용하여 예측한다. 즉, 관측 가능한 측정에서 가능한 결과를 얻을 확률을 설명한다. 종종 이러한 결과는 밀도 높은 확률 구름과 같은 많은 원인에 의해 왜곡된다. 확률 구름은 전자 위치가 확률함수, 파동함수 고유값으로 주어지는 대략적인 것으로, 그 확률은 복잡한 진폭의 제곱 계수 또는 양자 상태 핵 유인력이다. 당연히 이러한 확률은 측정의 "인스턴트"에 있는 양자 상태에 따라 달라진다. 따라서 불확실성은 가치에 관련된다. 그러나 특정 관측 가능한 특정 가치와 관련된 특정 주가 있다. 이를 관찰 가능한 고유체라고 한다. 일상 세계에서는 모든 것(관측 가능한 모든 것)을 고유 상태에 있는 것으로 생각하는 것이 자연스럽고 직관적이다. 모든 것은 확실한 위치, 확실한 추진력, 확실한 에너지, 그리고 발생 시기가 정해져 있는 것처럼 보인다. 그러나 양자역학은 입자의 위치와 운동량(결합 쌍이기 때문에) 또는 에너지와 시간(이들 역시 결합 쌍이기 때문에)의 정확한 값을 정확히 지적하지 않는다. 오히려, 그것은 입자에 탄력과 운동량 확률을 부여할 수 있는 확률의 범위만 제공한다. 따라서 불확실한 값을 가진 상태와 확실한 값을 가진 상태를 설명하는 데 서로 다른 단어를 사용하는 것이 도움이 된다.

보통, 시스템은 우리가 관심을 가지고 있는 관측 가능한 (입자)의 고유 상태에 있지 않을 것이다. 그러나 관측 가능한 상태를 측정할 경우 파동 함수는 즉시 관측 가능한 고유 상태(또는 "일반화된" 고유 상태)가 된다. 이 과정은 파동함수 붕괴로 알려져 있는데, 이는 연구 중인 시스템을 측정 장치를 포함하도록 확장하는 것을 수반하는 논란이 많고 많은 과정이다. 만약 측정 전 그 순간에 해당하는 파동함수를 안다면, 파동함수가 각각의 가능한 고유상태로 붕괴할 확률을 계산할 수 있을 것이다. 양자 상태의 시간 진화는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되는데, 해밀턴식(계통의 총 에너지에 해당하는 연산자)이 시간 진화를 생성한다. 파동 함수의 시간 진화는 초기 파동 함수를 감안할 때 파동 함수가 나중에 어떤 것이 될 것인지를 확실히 예측한다는 점에서 결정론적이다. 반면에 측정 중 초기 파형 함수를 다른 파형 함수로 변경하는 것은 결정론적이지 않고 예측할 수 없다(무작위). 여기서 시간 진화 시뮬레이션을 볼 수 있다.

파동 기능은 시간이 경과함에 따라 변한다. 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴의 제2법칙과 유사한 역할을 하면서 파동함수가 시간에 따라 어떻게 변하는지 기술한다. 앞에서 언급한 자유 입자의 예에 적용되는 슈뢰딩거 방정식은 파장 패킷의 중심이 일정한 속도(그 위에 작용하는 힘이 없는 고전적인 입자처럼)로 공간을 통과하여 움직일 것이라고 예측한다. 그러나 시간이 지날수록 파도 패킷도 퍼져 나가게 되는데, 시간이 지날수록 위치가 불확실해진다는 뜻이다. 이것은 또한 위치 고유 상태(무한하게 날카로운 파장 패킷으로 생각할 수 있음)를 더 이상 (확정, 특정) 위치 고유 상태를 나타내지 않는 확대파 패킷으로 바꾸는 효과도 있다.

일부 파동 함수는 일정한 확률 분포를 생성하며, 예를 들어 에너지가 일정한 정지 상태에 있을 때 파동 함수의 절대 제곱에서 시간이 사라진다(이는 에너지 시간 불확실성 원리의 기초임). 고전역학에서 동적으로 취급되는 많은 시스템은 그러한 "정적인" 파동 함수에 의해 설명된다. 예를 들어, 미기증 원자의 단일 전자는 입자로 분류하여 원자핵을 둘러싸고 있는 원형 궤도로 움직이는 반면, 양자역학에서는 핵을 둘러싸고 있는 정적, 세속적으로 대칭되는 파동함수에 의해 설명된다.

슈뢰딩거 방정식은 단순한 절대값이 아니라 전체 확률 진폭에 작용한다. 확률 진폭의 절대값은 확률에 대한 정보를 암호화하는 반면, 그 위상은 양자 상태 사이의 간섭에 대한 정보를 암호화하는 것이다. 이것은 양자 상태의 "파동적" 행동을 발생시킨다. 슈뢰딩거 방정식의 분석 용액은 양자 조화 진동자, 상자 안의 입자, 이수소 양이온, 수소 원자 등 비교적 단순한 모델 해밀턴으로 알려져 있다. 단지 두 개의 전자를 포함하고 있는 헬륨 원자조차도 완전한 분석적 치료의 모든 시도를 거부해 왔다.

그러나 대략적인 해결책을 찾는 기술들이 있다. 섭동 이론이라고 불리는 한 가지 방법은 단순한 양자 역학적 모델에 대한 분석 결과를 사용하여 약한 전위 에너지를 추가함으로써 관련되지만 더 복잡한 모델에 대한 결과를 만든다. 또 다른 방법은 "운동의 반클래식 방정식"이라고 불리는데, 이는 양자역학이 고전적 행동에서 작은 편차만을 생산하는 시스템에 적용된다. 이러한 편차는 고전적인 운동을 기반으로 계산될 수 있다. 이 접근법은 양자 혼돈 분야에서 특히 중요하다.